Question

已知(b-c)log_mx+(c-a)log_my+(a-b)log_mz=0,

(1)设a、b、c依次成等差数列,且公差d≠0,

求证:x、y、z成等比数列;

(2)设正数x、y、z依次成等比数列,且公比不为1,

求证:a、b、c成等差数列.

Answer 1

证明:(1)∵a、b、c成等差数列,且公差d不为0,

∴b-c=a-b=-d,c-a=2d,d≠0.

代入已知条件,得-d(log_mx-2log_my+log_mz)=0.

于是,有log_mx+log_mz=2log_my,

即y²=xz,且x>0,y>0,z>0.

故x、y、z成等比数列.

(2)∵x、y、z成等比数列,且公比不为1,

∴=q(q≠1),两边取对数,得

log_my-log_mx=log_mz-log_my=log_mq≠0.

∴log_mz-log_mx=2log_mq.

代入已知条件,得log_mq·(a-2b+c)=0,

∵q≠1,∴log_mq≠0.

∴2b=a+c.故a、b、c成等差数列.