题目内容
已知数列{an}，{bn}满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时，都有ai+bj=ak+bl，则
(ai+bi)的值是
| 1 |
| 2010 |
| 2010 |
 |
| i=1 |
2012
2012
．分析：由于当i+j=k+l时，都有ai+bj=ak+bl．可得a1+b2=a2+b1，解得b2=3；可得a1+bn+1=a2+bn，an+1+b1=an+b2，
可得bn+1-bn=a2-a1=1，an+1-an=b2-b1=1．数列{bn}是等差数列；数列{an}是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．
可得bn+1-bn=a2-a1=1，an+1-an=b2-b1=1．数列{bn}是等差数列；数列{an}是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．
解答：解：由于当i+j=k+l时，都有ai+bj=ak+bl．
∴a1+b2=a2+b1，∴1+b2=2+2，解得b2=3；
可得a1+bn+1=a2+bn，an+1+b1=an+b2，
∴bn+1-bn=a2-a1=1；an+1-an=b2-b1=1．
∴数列{bn}是等差数列，首项为2，公差为1；
数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1．
an=n，bn=n+1，
∴数列{an}的前n项和为
；数列{bn}的前n项和为
．
∴
(ai+bi)=
[
+
]=2012．
故答案为2012．
∴a1+b2=a2+b1，∴1+b2=2+2，解得b2=3；
可得a1+bn+1=a2+bn，an+1+b1=an+b2，
∴bn+1-bn=a2-a1=1；an+1-an=b2-b1=1．
∴数列{bn}是等差数列，首项为2，公差为1；
数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1．
an=n，bn=n+1，
∴数列{an}的前n项和为
| n(n+1) |
| 2 |
| n(2+n+1) |
| 2 |
∴
| 1 |
| 2010 |
| 2010 |
|
| i=1 |
| 1 |
| 2010 |
| 2010×(2010+1) |
| 2 |
| 2010×(2010+3) |
| 2 |
故答案为2012．
点评：本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及前n项和公式，属于难题．
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