Question

（2013•海口二模）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x+1|-|x|+a．
（Ⅰ）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；
（Ⅱ）若方程f（x）=x有三个不同的解，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若a=0，则f（x）=

-1 ，x＜-1 2x+1 ， -1≤x＜0 1  ， x≥0

，分 x＜-1时、当-1≤x＜0时、当x≥0 时，三种情况，分别求得不等式的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）设u（x）=|x+1|-|x|，由题意易知，把函数y=u（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y=x的图象始终有3个交点，从而求得a的范围．

解答：解：（Ⅰ）若a=0，f（x）=|x+1|-|x|=

-1 ，x＜-1 2x+1 ， -1≤x＜0 1  ， x≥0

，
∴当 x＜-1时，不等式 即-1≥0，解得x∈∅．
当-1≤x＜0时，不等式即 2x+1≥0，解得 x≥-

1

2

．综合可得-

1

2

≤x＜0．
当x≥0 时，不等式即 1≥0，恒成立，故不等式的解集为x≥0．
综上，不等式的解集为[-

1

2

，+∞）．   （5分）
（Ⅱ）设u（x）=|x+1|-|x|，则函数u（x）的图象和 y=x的图象如右图：
由题意易知，把函数y=u（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y=x的图象始终有3个交点，
从而-1＜a＜0．（10分）

点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了数形结合以及等价转化的数学思想，属于中档题．