Question

已知函数
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若，求证：．

Answer 1

（Ⅰ）0（Ⅱ）（Ⅲ）当时，不等式等价于．ln>令，设，则′(t)=>0
在上单调递增，

试题分析：（Ⅰ），则．
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减，
所以，在处取得最大值，且最大值为0．                       4分
（Ⅱ）由条件得在上恒成立．
设，则．
当 x∈(0,e)时，；当时，，所以，．
要使恒成立，必须．
另一方面，当时，，要使恒成立，必须．
所以，满足条件的的取值范围是．                          8分
（Ⅲ）当时，不等式等价于．ln>
令，设，则′(t)=>0，
在上单调递增，，
所以，原不等式成立．                                    12分
点评：第一问通过函数导数求得单调区间极值进而得到最值，第二问中不等式恒成立求参数范围的题目常采用分离参数法，转化为求函数最值问题，第三问证明不等式要构造函数通过求解函数最值证明不等式，有一定的难度