题目内容
已知函数f（x）=2aln（1+x）-x（a＞0）．
（I）求f（x）的单调区间和极值；
（II）求证：4lge+
+
+…+
＞lge
(n+1)（n∈N*）．
（I）求f（x）的单调区间和极值；
（II）求证：4lge+
| lge |
| 2 |
| lge |
| 3 |
| lge |
| n |
| (1+n)n |
| nn |
（I）定义域为（-1，+∞）f′(x)=
-1
令f'（x）＞0?-1＜x＜2a-1，令f'（x）＜0?x＞2a-1
故f（x）的单调递增区间为（-1，2a-1）
f（x）的单调递减区间为（2a-1，+∞）
f（x）的极大值为2aln2a-2a+1
（II）证：要证4lge+
+
++
＞lge
(n+1)
即证4+
+
++
＞
即证4+
+
++
＞lne
(n+1)
即证1+
+
++
+3＞ln(n+1)+(1+
)n
令a=
，由（I）可知f（x）在（0，+∞）上递减
故f（x）＜f（0）=0
即ln（1+x）＜x
令x=
(n∈N*)
故ln(1+
)=ln
=ln(n+1)-lnn＜
累加得，ln(n+1)＜1+
+
++
ln(1+
)＜
?ln(1+
)n＜1?(1+
)n＜e＜3
故1+
+
++
+3＞ln(n+1)+(1+
)n，得证
| 2a |
| 1+x |
令f'（x）＞0?-1＜x＜2a-1，令f'（x）＜0?x＞2a-1
故f（x）的单调递增区间为（-1，2a-1）
f（x）的单调递减区间为（2a-1，+∞）
f（x）的极大值为2aln2a-2a+1
（II）证：要证4lge+
| lge |
| 2 |
| lge |
| 3 |
| lge |
| n |
| (1+n)n |
| nn |
即证4+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n |
lge
| ||
| lge |
即证4+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n |
| (1+n)n |
| nn |
即证1+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
令a=
| 1 |
| 2 |
故f（x）＜f（0）=0
即ln（1+x）＜x
令x=
| 1 |
| n |
故ln(1+
| 1 |
| n |
| n+1 |
| n |
| 1 |
| n |
累加得，ln(n+1)＜1+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n |
ln(1+
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
故1+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
练习册系列答案
相关题目