Question

（本小题满分12分）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）若点为抛物线的准线上的任意一点，过点作抛物线的切线与，切点分别为，求证：直线恒过某一定点；

（Ⅲ）分析（Ⅱ）的条件和结论，反思其解题过程，再对命题（Ⅱ）进行变式和推广．请写出一个你发现的真命题，不要求证明（说明：本小题将根据所给出的命题的正确性和一般性酌情给分）．

Answer 1

（Ⅰ）; （Ⅱ）直线恒过定点; （Ⅲ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）依题意可设抛物线的方程为：（）．由焦点为可知，所以．即可求出抛物线的方程.（Ⅱ）方法一：设切点、坐标分别为，由（Ⅰ）知，．

则切线的斜率分别为，故切线的方程分别为，， 联立以上两个方程，得的坐标为，

因为点在抛物线的准线上，所以，即．设直线的方程为，代入抛物线方程，可得直线恒过定点． 方法二：设切点、坐标分别为，设，

易知直线斜率必存在，可设过点的切线方程为．

由，消去并整理得 因为切线与抛物线有且只有一个交点，所以， 可得， 假设存在一定点，使得直线恒过该定点，则由抛物线对称性可知该定点必在轴上，设该定点为， 则．又，可得，所以直线过定点． （Ⅲ）根据直线与抛物线的位置关系的性质即可得到结论.

试题解析：【解析】
（Ⅰ）依题意可设抛物线的方程为：（）． 1分

由焦点为可知，所以． 2分

所以所求的抛物线方程为． 3分

（Ⅱ）方法一：

设切点、坐标分别为，由（Ⅰ）知，．

则切线的斜率分别为，

故切线的方程分别为，， 4分

联立以上两个方程，得.故的坐标为， 5分

因为点在抛物线的准线上，所以，即． 6分

设直线的方程为，代入抛物线方程，得，

所以，即，所以． 7分

故的方程为，故直线恒过定点． 8分

方法二：设切点、坐标分别为，设，

易知直线斜率必存在，可设过点的切线方程为．

由，消去并整理得． ①

因为切线与抛物线有且只有一个交点，

所以，整理得， ②

所以直线斜率为方程②的两个根，故， 4分

另一方面，由可得方程①的解为，

所以． 5分

假设存在一定点，使得直线恒过该定点，则由抛物线对称性可知该定点必在轴

上，设该定点为， 6分

则．

所以，

所以，整理得

所以，

所以 7分

所以直线过定点． 8分

（Ⅲ）结论一：若点为直线（）上的任意一点，过点作抛物线（）的切线，切点分别为，则直线恒过定点． 12分

结论二：过点（）任作一条直线交抛物线于两点，分别以点为切点作该抛物线的切线，两切线交于点，则点必在定直线上． 12分

结论三：已知点为直线上的一点，若过点可以作两条直线与抛物线（）相切，切点分别为，则直线恒过定点． 12分.

考点：1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系.