Question

已知函数，g（x）=xe^ax-1（a∈R，e为自然对数的底数，e≈2.718）．
（1）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的值域；
（2）若对于任意的x∈[0，3]，都存在x₁∈[0，3]，使得g（x₁）=f（x），求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出导函数，然后判定函数在区间[0，3]上的单调性，从而求出函数的最值，即可求得函数的值域；
（2）设函数g（x）在区间[0，3]上的值域为N，可转化成若对于任意的x∈[0，3]，都存在x₁∈[0，3]，使得g（x₁）=f（x），即，从而讨论a的正负，以及与-进行比较，利用导数研究函数g（x）的值域即可．
解答：解：（1）由已知，x≠-1，，…（2分）
在区间（-1，2）上，f'（x）＞0，函数f（x）为增函数，
在区间（2，+∞）上，f'（x）＜0，函数f（x）为减函数，
所以，在区间[0，3]上，函数f（x）的最大值为，
又f（0）=-1，，所以f（x）的最小值为f（0）=-1．
所以f（x）在区间[0，3]上的值域为．
（2）设函数g（x）在区间[0，3]上的值域为N，根据题意，
若对于任意的x∈[0，3]，都存在x₁∈[0，3]，使得g（x₁）=f（x），即．
①当a=0时，g（x）=x-1，在区间[0，3]上的值域N=[-1，2]，符合题意；
由已知g'（x）=（ax+1）e^ax，
②当a＞0时，在上，g'（x）＞0，g（x）为增函数，在区间[0，3]上的值域N=[g（0），g（3）]，
即N=[-1，3e^3a-1]，因为3e^3a＞3，3e^3a-1＞2所以符合题意；
③当时，，在上，g'（x）＞0，g（x）为增函数，在区间[0，3]上的值域N=[g（0），g（3）]，即N=[-1，3e^3a-1]，
因为，所以-1＜3a＜0，，
比较与，即比较e与，因为e≈2.718，所以，所以．
所以，根据题意，需，解得．所以；…（10分）
④当时，，在上，g'（x）＞0，g（x）为增函数，
在上，g'（x）＜0，g（x）为减函数，在区间[0，3]上的最大值为，
以下比较与，由于，所以，不符合题意．…（12分）
综上，实数a的取值范围为．
点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数恒成立问题、利用导数求闭区间上函数的最值、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．