题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 和圆 $数学公式$ ，左顶点和下顶点分别为A，B，且F是椭圆C₁的右焦点．
（1）若点P是曲线C₂上位于第二象限的一点，且△APF的面积为 $数学公式$ ，求证：AP⊥OP；
（2）点M和N分别是椭圆C₁和圆C₂上位于y轴右侧的动点，且直线BN的斜率是直线BM斜率的2倍，求证：直线MN恒过定点．

证明：（1）设曲线C₂上的点P（x₀，y₀），且x₀＜0，y₀＞0，由题意A（- $\text{[math]}$ ，0），F（1，0）
∵△APF的面积为 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0
∴AP⊥OP；
（2）设直线BM的斜率为k，则直线BN的斜率为2k，又两直线都过点B（0，-1）
∴直线BM的方程为y=kx-1，直线BN的方程为y=2kx-1
将y=kx-1代入椭圆方程，消元可得（1+2k²）x²-4kx=0，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴M（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
同理N（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
∴直线MN的斜率为 $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$
∴直线MN的方程为y- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）
整理得y=- $\text{[math]}$ x+1
∴直线MN恒过定点（0，1）
分析：（1）设曲线C₂上的点P（x₀，y₀），利用△APF的面积为 $\text{[math]}$ ，可求P的坐标，计算 $\text{[math]}$ =0，即可证得结论；
（2）设直线BM、BN的方程为y=2kx-1，代入椭圆方程，求得M，N的坐标，计算直线MN的斜率，可得直线MN的方程，即可求得结论．
点评：本题考查椭圆与圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线恒过定点，确定点的坐标是关键．