Question

已知椭圆和圆，左顶点和下顶点分别为A，B，且F是椭圆C₁的右焦点．
（1）若点P是曲线C₂上位于第二象限的一点，且△APF的面积为，求证：AP⊥OP；
（2）点M和N分别是椭圆C₁和圆C₂上位于y轴右侧的动点，且直线BN的斜率是直线BM斜率的2倍，求证：直线MN恒过定点．

Answer 1

【答案】分析：（1）设曲线C₂上的点P（x，y），利用△APF的面积为，可求P的坐标，计算=0，即可证得结论；
（2）设直线BM、BN的方程为y=2kx-1，代入椭圆方程，求得M，N的坐标，计算直线MN的斜率，可得直线MN的方程，即可求得结论．
解答：证明：（1）设曲线C₂上的点P（x，y），且x＜0，y＞0，由题意A（-，0），F（1，0）
∵△APF的面积为，∴=
∴，
∴=•=0
∴AP⊥OP；
（2）设直线BM的斜率为k，则直线BN的斜率为2k，又两直线都过点B（0，-1）
∴直线BM的方程为y=kx-1，直线BN的方程为y=2kx-1
将y=kx-1代入椭圆方程，消元可得（1+2k²）x²-4kx=0，∴，∴
∴M（，）
同理N（，）
∴直线MN的斜率为=-
∴直线MN的方程为y-=-（x-）
整理得y=-x+1
∴直线MN恒过定点（0，1）
点评：本题考查椭圆与圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线恒过定点，确定点的坐标是关键．