题目内容
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b=
，tanA+tanC+tan
=tanAtanCtan
，则a+c的取值范围是
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
（
，
]
| ||
| 2 |
| 3 |
（
，
]
．
| ||
| 2 |
| 3 |
分析：依题意，可求得B=
，利用正弦定理
=
=
与三角函数间的恒等变换即可求得a+c的取值范围．
| π |
| 3 |
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
解答：解：∵tanA+tanC+tan
=tanAtanCtan
，
∴tanA+tanC=-
（1-tanAtanC），
∴
=-
，即tan（A+C）=-
；
∵在△ABC中，A+B+C=π，
∴tan（A+C）=-tanB=-
，
∴tanB=
，B=
．
∴A+C=
，又b=
，
∴由正弦定理
=
=
=1得：a=sinA，c=sinC，
∴a+c=sinA+sinC
=sinA+sin（
-A）
=sinA+
cosA+
snA
=
sinA+
cosA
=
sin（A+
），
∵A∈（0，
），
∴A+
∈（
，
），
∴
＜
sin（A+
）≤
．
∴a+c的取值范围是（
，
]．
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴tanA+tanC=-
| 3 |
∴
| tanA+tanC |
| 1-tanAtanC |
| 3 |
| 3 |
∵在△ABC中，A+B+C=π，
∴tan（A+C）=-tanB=-
| 3 |
∴tanB=
| 3 |
| π |
| 3 |
∴A+C=
| 2π |
| 3 |
| ||
| 2 |
∴由正弦定理
| a |
| sinA |
| c |
| sinC |
| b |
| sinB |
| ||||
|
∴a+c=sinA+sinC
=sinA+sin（
| 2π |
| 3 |
=sinA+
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
=
| 3 |
| π |
| 6 |
∵A∈（0，
| 2π |
| 3 |
∴A+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
∴
| ||
| 2 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
∴a+c的取值范围是（
| ||
| 2 |
| 3 |
点评：本题考查两角和与差的正切函数，考查正弦定理与三角函数间的恒等变换的应用，考查正弦函数的性质，属于中档题．
练习册系列答案
津桥教育计算小状元系列答案
相关题目