Question

已知函数f1(x)=

mx

4x2+16

，f2(x)=(

1

2

)|x-m|其中m∈R且m≠o．
（1）判断函数f₁（x）的单调性；
（2）若m＜一2，求函数f（x）=f₁（x）+f₂（x）（x∈[-2，2]）的最值；
（3）设函数g(x)=

f1(x)，x≥2 f2(x)，x＜2

当m≥2时，若对于任意的x₁∈[2，+∞），总存在唯一的x₂∈（-∞，2），使得g（x₁）=g（x₂）成立．试求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f₁′（x），分m大于0和m小于0两种情况，令导函数大于0解出x的范围即为函数的增区间，令导函数小于0解出x的范围即为函数的减区间；
（2）由m小于-2及-2≤x≤2得到x-m大于0，即可化简f₂（x），然后分别把两个解析式代入得到f（x），根据（1）得到函数f₁（x）在区间[-2，2]上为减函数，且f₂（x）也为减函数，所以得到f（-2）最大，f（2）最小，分别求出值即可；
（3）当m大于等于2时，x₁∈[2，+∞）时得到g（x₁）等于f₁（x），g（x₁）在[2，+∞）上是减函数得到，得到g（x₁）的范围，同理，x₂∈（一∞，2）时g（x₂）等于f₂（x），g（x₂）在（-∞，2）上单调递增得到g（x₂）的范围，根据g（x₁）=g（x₂）列出关于m的不等式，根据函数的单调性即可得到m的范围．

解答：解：（1）∵f′1(x)=

m(4-x2)

(2x2+8)2

则当m＞0时，在（-2，2）上函数f₁（x）单调递增；在（-∞，-2）及（2，+∞）上单调递减．
当m＜0时，在（-2，2）上函数f₁（x）单调递减；在（-∞，-2）及（2，+∞）上单调递增；
（2）由m＜-2，-2≤x≤2，得x-m＞0，则f2(x)=(

1

2

)x-m=2m•(

1

2

)x，
∴f(x)=f1(x)+f2(x)=

mx

4x2+16

+2m•(

1

2

)x
由（1）知，当m＜-2，-2≤x≤2时，f₁（x）在[-2，2]上是减函数，而f2(x)=2m•(

1

2

)x在[-2，2]上也是减函数，
∴当x=-2时，f（x）取最大值4•2m-

m

16

=2m+2-

m

16

，当x=2时，f（x）取最小值2m-2+

m

16

；
（3）当m≥2时，g(x1)=f1(x1)=

mx1

4 x 2 1 +16

，
由（1）知，此时函数g（x₁）在[2，+∞）上是减函数，
从而g（x₁）∈（0，f₁（2）），即g(x1)∈(0，

m

16

]
若m≥2，由于x₂＜2，
则g(x2)=f2(x2)=(

1

2

)|x2-m|=(

1

2

)|m-x2|=(

1

2

)m•2x2，
∴g（x₂）在（-∞，2）上单调递增，
从而g（x₂）∈（0，f₂（2））
即g(x2)∈(0，(

1

2

)m-2)
要使g（x₁）=g（x₂）成立，
只需

m

16

＜(

1

2

)m-2，即

m

16

-(

1

2

)m-2＜0成立即可
由函数h(m)=

m

16

-(

1

2

)m-2在[2，+∞）上单调递增，
且h（4）=0，得m＜4，
所以2≤m＜4

点评：此题考查学生会根据导函数的正负确定原函数的单调区间，会根据函数的增减性得求出函数的最值，理解函数最值及几何意义，会根据函数的增减性求出自变量的取值范围，是一道综合题．