题目内容

已知函数f1(x)=x+
4
x
(x≠0)，f2(x)=cosx+
4
cosx
(0＜x＜
π
2
)，f3（x）=
8x
x2+1
（x＞0），f4(x)=
9
x+2
+x(x≥-2)，其中以4为最小值的函数个数是（　　）
分析：x＜0时，函数f1（x）=-[（-x）+（-
4
x
）]利用基本不等式可判断
令t=cosx，则t∈（0，1），y=t+
4
t
在（0，1）上单调递减，可判断
f3(x)=
8x
x2+1
=
8
x+
1
x
利用基本不等式可判断
f4(x)=
9
x+2
+x+2-2利用基本不等式可判断
解答：解：x＜0时，函数f1（x）=-[（-x）+（-
4
x
）]≤-4无最大值
令t=cosx，则t∈（0，1），y=t+
4
t
在（0，1）上单调递减，没有最大值与最小值
f3(x)=
8x
x2+1
=
8
x+
1
x
≤
8
2
x•
1
x
=4（当且仅当x=
1
x
即x=1时取等号），故最大值为4
f4(x)=
9
x+2
+x+2-2≥2
9
x+2
•(x+2)
-2=4（当且仅当x+2=
9
x+2
即x=1取等号），故最小值为4
故选B
点评：本题主要考查了利用基本不等式求解函数的最值，要 注意基本不等式的应用条件：一正二定三相等条件的判断
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．
（1）当a=
1
2
时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称为g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．
已知函数f1(x)=(a-
1
2
)x2+2ax+(1-a2)lnx，f2(x)=
1
2
x2+2ax．
①若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围；
②当a=
2
3
时，求证：在区间（1，+∞）上，函数f1（x），f2（x）的“活动函数”有无穷多个．
已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．
（1）当a=
1
2
时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数f1(x)=(a-
1
2
)x2+2ax+(1-a2)lnx，f2(x)=
1
2
x2+2ax．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．
（2011•太原模拟）已知函数f1(x)=ax，f2(x)=xa，f3(x)=logax（其中a＞0且a≠1），当x≥0且y≥0时，在同一坐标系中画出其中两个函数的大致图象，正确的是（　　）
（2013•汕头一模）已知函数f1(x)=e|x-a|，f2(x)=ebx．
（I）若f（x）=f1（x）+f2（x）-bf2（-x），是否存在a，b∈R，y=f（x）为偶函数．如果存在．请举例并证明你的结论，如果不存在，请说明理由；
〔II）若a=2，b=1．求函数g（x）=f1（x）+f2（x）在R上的单调区间；
（III ）对于给定的实数?x0∈[0，1]，对?x∈[0，1]，有|f1（x）-f2（x0）|＜1成立．求a的取值范围．

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