Question

若直线l过点（0，3）且与抛物线y²=2x只有一个公共点，求该直线方程．

Answer 1

分析：直接分直线l的斜率存在和不存在，当斜率不存在和斜率存在等于0时记忆分析，当斜率存在不等于0时联立直线方程和抛物线方程后化为关于x的一元二次方程，由判别式等于0即可得到答案．

解答：解：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=0，满足条件；
当直线l的斜率存在时，不妨设l：y=kx+3，代入y²=2x，得：k²x²+（6k-2）x+9=0
由条件知，当k=0时，即：直线y=3与抛物线有一个交点
当k≠0时，由△=（6k-2）²-4×9×k²=0，解得：k=

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6

，则直线方程为y=

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x+3
故满足条件的直线方程为：x=0或y=3或y=

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6

x+3．

点评：本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了判别式法，是中档题．