Question

已知函数的两条切线PM、PN，切点分别为M、N.
（I）当时，求函数的单调递增区间；
（II）设|MN|=，试求函数的表达式；
（III）在（II）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在成立，求m的最大值.

Answer 1

（I）函数有单调递增区间为
（II）
（III）m的最大值为6.

解：（I）当  .
则函数有单调递增区间为
（II）设M、N两点的坐标分别为、，

同理，由切线PN也过点（1，0），得 （2）
由（1）、（2），可得的两根，


把（*）式代入，得因此，函数
（III）易知上为增函数，




由于m为正整数，.
又当  因此，m的最大值为6.