Question

设a为实数，函数f（x）=

x2

2

+

a

x

-1，x∈[

2

，2]．
（1）若a=1，求函数f（x）的值域；
（2）记函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）．

Answer 1

分析：（1）求导函数，确定f（x）在[

2

，2]上是增函数，即可求函数f（x）的值域；
（2）分类讨论，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的最小值g（a）．

解答：解：（1）a=1，求导函数可得f′(x)=

x3-1

x2

∵x∈[

2

，2]，
∴f（x）在[

2

，2]上是增函数，
∴f（x）的值域为[

2

2

，

3

2

]；
（2）f′(x)=

x3-a

x2

，x∈[

2

，2]，
①a≤2

2

时，x³-a≥0，f′（x）≥0，∴f（x）在[

2

，2]上是增函数，
∴g(a)=f(

2

)=

2 a

2

；
②当2

2

＜a＜8时，函数在[

2

，

3	a

]上，f′（x）＜0，∴f（x）在[

2

，

3	a

]上是减函数，在[

3	a

，2]上，f′（x）＞0，∴f（x）在[

3	a

，2]上是增函数，
∴g（a）=f(

3	a

)=

3 3 a2

2

-1；
③当a≥8时，f′（x）≤0，∴f（x）在[

2

，2]上是减函数，∴g（a）=f（2）=

2+a

2

∴g（a）=

2 2 a，a≤2 2 3 3 a2 2 -1，2 2 ＜a＜8 2+a 2 ，a≥8

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数单调单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．