Question

已知函数f（x）=ax+lnx，x∈（1，e），且f（x）有极值．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）的值域；
（3）函数g（x）=x³-x-2，证明：?x₁∈（1，e），?x₀∈（1，e），使得g（x₀）=f（x₁）成立．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=ax+lnx求导，再由f（x）有极值知f′（x）=0解，且在两侧导函数正负相异求解．
（2）由（Ⅰ）可知f（x）的极大值为f(-

1

a

)=-1+ln(-

1

a

)，再求得端点值f（1）=a，f（e）=ae+1，比较后取最小值和最大值，从而求得值域．
（3）证明：由：?x₁∈（1，e），?x₀∈（1，e），使得g（x₀）=f（x₁）f（x₁）即研究：f（x）的值域是g（x）的值域的子集，所以分别求得两函数的值域即可．

解答：解：（1）由f（x）=ax+lnx求导可得：f′(x)=a+

1

x

．（2分）
令f′(x)=a+

1

x

=0，可得a=-

1

x

∵x∈（1，e），∴-

1

x

∈(-1，-

1

e

)∴a∈(-1，-

1

e

)（3分）
又因为x∈（1，e）

所以，f（x）有极值所以，实数a的取值范围为(-1，-

1

e

)．（4分）
（2）由（Ⅰ）可知f（x）的极大值为f(-

1

a

)=-1+ln(-

1

a

)（6分）
又∵f（1）=a，f（e）=ae+1
由a≥ae+1，解得a≤

1

1-e

又∵-1＜

1

1-e

＜-

1

e

∴当-1＜a≤

1

1-e

时，
函数f（x）的值域为（ae+1，-1+ln（-

1

a

）]（8分）
当

1

1-e

＜a＜-

1

e

时，
函数f（x）的值域为（a，-1+ln（-

1

a

）]．（10分）
（3）证明：由g（x）=x³-x-2求导可得g'（x）=3x²-1（11分）
令g'（x）=3x²-1=0，解得x=±

3

3

令g'（x）=3x²-1＞0，解得x＜-

3

3

或x＞

3

3

又∵x∈(1，e)⊆(

3

3

，+∞)
∴g（x）在（1，e）上为单调递增函数（12分）
∵g（1）=-2，g（e）=e³-e-2
∴g（x）在x∈（1，e）的值域为（-2，e³-e-2）（14分）
∵e3-e-2＞-1+ln(-

1

a

)，
-2＜ae+1，-2＜a
∴(ae+1，-1+ln(-

1

a

)]⊆(-2，e3-e-2)，
(a，-1+ln(-

1

a

)]⊆(-2，e3-e-2)
∴?x₁∈（1，e），?x₀∈（1，e），使得g（x₀）=f（x₁）成立．（16分）

点评：本题主要考查用导数来研究函数的单调性，极值，最值等问题，以及集合思想的应用．