题目内容
已知函数f（x）=
-
alnx，a∈R．
（Ⅰ）当f（x）存在最小值时，求其最小值φ（a）的解析式；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的φ（a），
（ⅰ）当a∈（0，+∞）时，证明：φ（a）≤1；
（ⅱ）当a＞0，b＞0时，证明：φ′（
）≤
≤φ′（
）．
| x |
| 1 |
| 2 |
（Ⅰ）当f（x）存在最小值时，求其最小值φ（a）的解析式；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的φ（a），
（ⅰ）当a∈（0，+∞）时，证明：φ（a）≤1；
（ⅱ）当a＞0，b＞0时，证明：φ′（
| a+b |
| 2 |
| φ′(a)+φ′(b) |
| 2 |
| 2ab |
| a+b |
（Ⅰ）求导数，得f′（x）=
-
=
（x＞0）．
（1）当a≤0时，f′（x）=
＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数，无最小值．
（2）当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=a2．
当0＜x＜a2时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，a2）上是减函数；
当x＞a2时，f′（x）＞0，∴f（x）在（a2，+∞）上是增函数．
∴f（x）在x=a2处取得最小值f（a2）=a-alna．
故f（x）的最小值φ（a）的解析式为φ（a）=a-alna（a＞0）．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），知φ（a）=a-alna（a＞0），
求导数，得φ′（a）=-lna．
（ⅰ）令φ′（a）=0，解得a=1．
当0＜a＜1时，φ′（a）＞0，∴φ（a）在（0，1）上是增函数；
当a＞1时，φ′（a）＜0，∴φ（a）在（1，+∞）上是减函数．
∴φ（a）在a=1处取得最大值φ（1）=1．
故当a∈（0，+∞）时，总有φ（a）≤1．…（10分）
（ⅱ）当a＞0，b＞0时，
=-
=-ln
，①
φ′（
）=-ln（
）≤-ln
，②
φ′（
）=-ln（
）≥-ln
=-ln
，③
由①②③，得φ′（
）≤
≤φ′（
）．…（14分）
| 1 | ||
2
|
| a |
| 2x |
| ||
| 2x |
（1）当a≤0时，f′（x）=
| ||
| 2x |
（2）当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=a2．
当0＜x＜a2时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，a2）上是减函数；
当x＞a2时，f′（x）＞0，∴f（x）在（a2，+∞）上是增函数．
∴f（x）在x=a2处取得最小值f（a2）=a-alna．
故f（x）的最小值φ（a）的解析式为φ（a）=a-alna（a＞0）．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），知φ（a）=a-alna（a＞0），
求导数，得φ′（a）=-lna．
（ⅰ）令φ′（a）=0，解得a=1．
当0＜a＜1时，φ′（a）＞0，∴φ（a）在（0，1）上是增函数；
当a＞1时，φ′（a）＜0，∴φ（a）在（1，+∞）上是减函数．
∴φ（a）在a=1处取得最大值φ（1）=1．
故当a∈（0，+∞）时，总有φ（a）≤1．…（10分）
（ⅱ）当a＞0，b＞0时，
| φ′(a)+φ′(b) |
| 2 |
| lna+lnb |
| 2 |
| ab |
φ′（
| a+b |
| 2 |
| a+b |
| 2 |
| ab |
φ′（
| 2ab |
| a+b |
| 2ab |
| a+b |
| 2ab | ||
2
|
| ab |
由①②③，得φ′（
| a+b |
| 2 |
| φ′(a)+φ′(b) |
| 2 |
| 2ab |
| a+b |
练习册系列答案
学练快车道快乐假期暑假作业新疆人民出版社系列答案
浙大优学小学年级衔接导与练浙江大学出版社系列答案
小学暑假作业东南大学出版社系列答案
津桥教育暑假拔高衔接广东人民出版社系列答案
波波熊暑假作业江西人民出版社系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|