Question

已知f_n（x）=（1+x）+2（1+x）²+…+n（1+x）ⁿ=a_n0+a_n1x+…+a_nnxⁿ，n∈N^*，这些系数可形成如下数阵：
（1）求出a₃₁，a₃₂的值；
（2）若n=9，求a₉₁+a₉₅+a₉₇+a₉₉的值；
（3）求数列{a_ij}（其中i，j∈N^*，且1≤j≤i≤n）的和S．

Answer 1

分析：本题考查排列与组合与二项式的综合题，由题设条件先将二项式的系数与数阵中的符号对应，
（1）由矩阵中的数与二项式系数的对应求出两数的值；
（2）根据二项式的性质，求出所有偶数项的系数的和，再从中排除a₉₃既得；
（3）要求数列{a_ij}（其中i，j∈N^*，且1≤j≤i≤n）的和S，可先求出每一行的和，再求出S．

解答：解：（1）由题意得a₃₁=1+2C₂¹+3C₃¹=14，a₃₂=2C₂²+3C₃²=11…..（2分）
 （2）∵a₉₁+a₉₃+a₉₅+a₉₇+a₉₉=

f 9(1)-f 9(-1)

2

=1+2×2+3×2²+…+9×2⁸=4097…..（4分）
而a₉₃=3C₃³+4C₄³+…+9C₉³1638
∴a₉₁+a₉₅+a₉₇+a₉₉=4097-1638=2459…（6分）
（3）S_i=

i

j=0

aij=2+2×2²+3×2³+…+i×2ⁱ…..①
2S_i=2

i

j=0

aij=2²+2×2³+3×2⁴+…+i×2ⁱ⁺¹…②
由①-②，得
-S_i=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁱ-i×2ⁱ⁺¹=

2(1-2i)

1-2

-i×2ⁱ⁺¹=（1-i）×2ⁱ⁺¹-2
∴S_i=2+（i-1）×2ⁱ⁺¹  …（9分）
而

n

i=1

ai0=

n

i=1

i(1+i)

2

∴s=

n

i=1

Si-

n

i=1

ai0=2n+2³+2×2⁴+3×2⁵+…+（n-1）×2ⁿ⁺¹-

n

i=1

i(1+i)

2

 
s′=2³+2×2⁴+3×2⁵+…+（n-1）×2ⁿ⁺¹③
2s′=2⁴+2×2⁵+3×2⁶+…+（n-1）×2ⁿ⁺²④
由③-④，得-s′=2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（n-1）×2ⁿ⁺²=

8(1-2n-1)

1-2

-（n-1）×2ⁿ⁺²=（2-n）×2ⁿ⁺²-8s′=8+（n-2）×2ⁿ⁺² 
∴s=2n+8+（n-2）×2ⁿ⁺²-

n

i=1

i(1+i)

2

=2n+8+（n-2）×2ⁿ⁺²-

1

12

n(n+1)(2n+1)-

1

4

n(n+1) 
s=2n+8+（n-2）×2ⁿ⁺²-

1

6

n(n+1)(n+2)…..（12分）

点评：本题考查排列与组合的综合题，以及数列求和的技巧，解题的关键是理解题意，明确矩阵中的数与二项式系数的对应关系，熟练掌握二项式定理数列的求和技巧错位相减法等，本题涉及到的知识点多，技巧多，综合性很强，且运算量很大，解题是要运算严谨，转化严密，本题考查了推理判断的能力及转化的思想，是数列与二项式结好的难度很高的题