题目内容

已知fn（x）=（1+x）n．
（1）若f2011(x)=a0+a1x+…+a2011x2011，求a1+a3+…+a2009+a2011的值；
（2）若g（x）=f6（x）+2f7（x）+3f8（x），求g（x）中含x6项的系数．
分析：（1）依题意可求得f2011（1）=a0+a1+…+a2011=22011①与f2011（-1）=a0-a1+…+a2010-a2011=0②，①-②可得a1+a3+…+a2009+a2011的值；
（2）依题意可得g（x）=（1+x）6+2（1+x）7+3（1+x）8，由二项式系数的性质可得g（x）中含x6项的系数．
解答：解：（1）∵fn（x）=（1+x）n，
∴f2011（x）=（1+x）2011，
又f2011（x）=a0+a1x+…+a2011x2011，
∴f2011（1）=a0+a1+…+a2011=22011，①
f2011（-1）=a0-a1+…+a2010-a2011=0，②
①-②得：2（a1+a3+…+a2009+a2011）=22011，
∴a1+a3+…+a2009+a2011=22010．
（2）∵g（x）=f6（x）+2f7（x）+3f8（x），
∴g（x）=（1+x）6+2（1+x）7+3（1+x）8
∴g（x）中含x6项的系数为1+2×
C
6
7
+3
C
6
8
=99．
点评：本题考查二项式定理的应用，突出考查赋值法与解方程组的方法，考查理解与分析运算的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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已知fn（x）=（1+x）n，
（Ⅰ）若f2011（x）=a0+a1x+…+a2011x2011，求a1+a3+…+a2009+a2011的值；
（Ⅱ）若g（x）=f6（x）+2f7（x）+3f8（x），求g（x）中含x6项的系数；
（Ⅲ）证明：
C
m
m
+2
C
m
m+1
+3
C
m
m+2
+…+n
C
m
m+n-1
=[
(m+1)n+1
m+2
]
C
m+1
m+n
．
已知fn（x）=（1+x）n．
（1）若f11（x）=a0+a1x+a2x2+…+a11x11，求a1+a3+…+a11的值；
（2）若g（x）=f6（x）+2f7（x）+3f8（x），求g（x）中含x6项的系数；
（3）证明：
C
m
m
+2
C
m
m+1
+3
C
m
m+2
+…+n
C
m
m+n-1
=[
(m+1)n+1
m+2
]
C
m+1
m+n
．
精英家教网已知fn（x）=（1+x）+2（1+x）2+…+n（1+x）n=an0+an1x+…+annxn，n∈N*，这些系数可形成如下数阵：
（1）求出a31，a32的值；
（2）若n=9，求a91+a95+a97+a99的值；
（3）求数列{aij}（其中i，j∈N*，且1≤j≤i≤n）的和S．

已知fn（x）=（1+x）n．
（1）若数学公式，求a1+a3+…+a2009+a2011的值；
（2）若g（x）=f6（x）+2f7（x）+3f8（x），求g（x）中含x6项的系数．

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