Question

命题p：关于x的方程x-

1

x

+a=0在x∈（0，1）没有实数根，命题q：f（x）=

(3-a)x-4a，x＜1 logax，x≥1

是（-∞，+∞）上的增函数，如果￢p∨q为真命题，￢p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：由题意，先对两个命题进行化简，然后再根据题设中￢p∨q为真命题，￢p∧q为假命题得出￢p与q一真一假，从而分类讨论解出a的取值范围即可

解答：解：由原方程得a=

1

x

-x，此函数在x∈（0，1）是减函数，所以

1

x

-x＞0，欲使方程x-

1

x

+a=0在x∈（0，1）没有实数根，只需要a≤0即可，所以命题p：a≤0
由于f（x）=

(3-a)x-4a，x＜1 logax，x≥1

是（-∞，+∞）上的增函数，故有

a＞1 3-a＞0 3-5a≤0

，解之得

3

5

≤a＜3，即命题q：

3

5

≤a＜3
因为￢p∨q为真命题，￢p∧q为假命题，故￢p与q一真一假，
若￢p真q假时，则有0＜a＜

3

5

或a≥3；若￢p假q真时，则有a∈∅
综上知，实数a的取值范围为0＜a＜

3

5

或a≥3

点评：本题考查复合命题的真假判断，此类题涉及到的知识点较多，知识性强，解题的关键是熟练掌握相关知识，且能根据正确转化命题