题目内容
【题目】设
为非负实数，函数
.
（1）当
时，求
的单调区间；
（2）讨论函数
零点的个数，并求出零点.
【答案】（1）
的单调递增区间是
和
，单调递减区间是
；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）当
时， 
，分段求单调区间即可；
（2）讨论
和
两种情况，其中当
时， 
，分别求两端的零点个数即可.
试题解析：
（1）当
时， 
，
①当
时， 
，
∴
在
上单调递增；
②当
时， 
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增；
综上所述， 
的单调递增区间是
和
，单调递减区间是
.
（2）（1）当
时， 
，函数
的零点为
；
（2）当
时， 
，
故当
时， 
，二次函数对称轴为
，
∴
在
上单调递增， 
；
当
时， 
，二次函数对称轴
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增；
∴
的极大值为
，
当
，即
时，函数
与
轴只有唯一交点，即唯一零点，
由
解之得，函数
的零点为
或
（舍去）；
当
，即
时，函数
与
轴有两个交点，即两个零点，分别为
和
；
当
，即
时，函数
与
轴有三个交点，即有三个零点，
由
，解得， 
，
∴函数
的零点为
和
，
综上可得，当
时，函数的零点为0；
当
时，函数有一个零点，且零点为
；
当
时，有两个零点2和
；
当
时，函数有三个零点
和
.
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