Question

已知函数f（x）=x³-

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x²+bx+c．
（1）若f（x）在（-∞，+∞）是增函数，求b的取值范围；
（2）若f（x）在x=1时取得极值，且x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立，求 c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f（x）=x³-

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x²+bx+c，我们可以求出函数的导函数，进而根据f（x）在（-∞，+∞）是增函数，则f′（x）≥0恒成立，构造关于b的不等式，解不等式即可得到答案．
（2）当f（x）在x=1时取得极值时，则x=1是方程3x²-x+b=0的一个根，由韦达定理可以求出方程3x²-x+b=0的另一个根，进而分析出区间[-1，2]的单调性，进而确定出函数f（x）在区间[-1，2]的最大值，进而构造关于c的不等式，根据二次不等式恒成立问题，即可得到答案．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-x+b，∵f（x）在（-∞，+∞）是增函数，
∴f′（x）≥0恒成立，∴△=1-12b≤0，解得b≥

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．
∵x∈（-∞，+∞）时，只有b=

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时，f′（

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）=0，∴b的取值范围为[

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，+∞]．
（2）由题意，x=1是方程3x²-x+b=0的一个根，设另一根为x₀，
则

x0+1= 1 3 x0×1= b 3

∴

x0=- 2 3 b=-2

∴f′（x）=3x²-x-2，
列表分析最值：

x	-1	（-1，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，2）	2
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	1 2 +c	递增	极大值 22 27 +c	递减	极小值- 3 2 +c	递增	2+c

∴当x∈[-1，2]时，f（x）的最大值为f（2）=2+c，
∵对x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立，∴c²＞2+c，解得c＜-1或c＞2，
故c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数恒成立问题，函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的极值，是函数与导数问题比较综合的应用，其中（1）的关键是构造关于b的不等式，而（2）的关键是问题转化为关于c的不等式恒成立问题．