Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别是，点在椭圆上， 是等边三角形.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）点在椭圆上，线段与线段交于点，若与的面积之比为，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆短轴上的顶点得，由是正三角形得即，从而求得方程；

（Ⅱ）设， ，因为，所以，且，从而得即，代入椭圆方程得，将代入直线的方程得到，即可得解.

试题解析：

解：（Ⅰ）由题意是椭圆短轴上的顶点，所以，

因为是正三角形，

所以，即.

由，所以.

所以椭圆的标准方程是.

（Ⅱ）设， ，依题意有， ， ， .

因为，所以，且，

所以， ，即.

因为点在椭圆上，所以，即.

所以，解得，或.

因为线段与线段交于点，

所以，所以.

因为直线的方程为，

将代入直线的方程得到.

所以点的坐标为.