Question

永泰青云山特产经营店销售某种品牌蜜饯，蜜饯每盒进价为8元，预计这种蜜饯以每盒20元的价格销售时该店一天可销售20盒，经过市场调研发现每盒蜜饯的销售价格在每盒20元的基础上每减少一元则增加销售4盒，每增加一元则减少销售1盒，现设每盒蜜饯的销售价格为x元．
（1）写出该特产店一天内销售这种蜜饯所获得的利润y（元）与每盒蜜饯的销售价格x的函数关系式；
（2）当每盒蜜饯销售价格x为多少时，该特产店一天内利润y（元）最大，并求出这个最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意可知：以每盒20元的价格销售时该店一天可销售20盒，经过市场调研发现每盒蜜饯的销售价格在每盒20元的基础上每减少一元则增加销售4盒，每增加一元则减少销售1盒，现设每盒蜜饯的销售价格为x元．于是可得：当0＜x≤20时，y=[20+4（20-x）]（x-8），当20＜x＜40时，y=[20-（x-20）]（x-8）．
（2）分类讨论：当0＜x≤20时，当20＜x＜40时，利用二次函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）当0＜x≤20时，y=[20+4（20-x）]（x-8）=-4x²+132x-800，
当20＜x＜40时，y=[20-（x-20）]（x-8）=-x²+48x-320，
∴y=

-4x2+132x-8000＜x≤20 -x2+48x-32020＜x＜40

（2）①当0＜x≤20时，y=-4(x-

33

2

)2+289，
∴当x=16.5时，y取得最大值为289，
②当20＜x＜40时，y=-（x-24）²+256，
∴当x=24时，y取得最大值256，
综上所述，当蜜饯价格是16.5元时，该特产店一天的利润最大，最大值为289元．

点评：本题考查了二次函数的单调性、分段函数的意义、分类讨论等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题．