Question

13．已知椭圆的一个焦点为F（6，0），点B₁，B₂是短轴的两端点，△FB₁B₂是等边三角形，求这个椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．c=6．根据△FB₁B₂是等边三角形，可得b=$\sqrt{3}$c，a=2c．即可得出．

解答 解：设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．
c=6．
∵△FB₁B₂是等边三角形，
∴b=$\sqrt{3}$c=6$\sqrt{3}$，a=2c=12．
∴这个椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{144}+\frac{{y}^{2}}{108}=1$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．