Question

设函数 f（x）=x|x-1|+m，g（x）=1nx．
（1）当m＞1时，求函数y=f（x）在[0，m]上的最大值；
（2）记函数p（x）=f（x）-g（x），若函数p（x）有零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x|x-1|+m=x²-x+m=（x-

1

2

）²+m-

1

4

，0≤x≤m，能求出当x=m时，f（x）取得最大值．
（2）由函数p（x）=f（x）-g（x）有零点，知f（x）-g（x）=0有正解，从而推导出存在正数x使 x|x-1|+m-lnx=0，m=lnx-x|x-1|成立，由此能求出m的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=x|x-1|+m，m＞1，0≤x≤m
∴f（x）=x|x-1|+m=x²-x+m=（x-

1

2

）²+m-

1

4

，
又∵0≤x≤m，
∴当x=m时，f（x）取得最大值m²．
（2）函数p（x）=f（x）-g（x）有零点，
即f（x）-g（x）=0有正解，
∵f（x）=x|x-1|+m，g（x）=1nx，
∴存在正数x使 x|x-1|+m-lnx=0，
m=lnx-x|x-1|成立，
令q（x）=lnx-x|x-1|，
当0＜x＜1时，q（x）=lnx+x²-1，
q′（x）=

1

x

+2x＞0总成立，故q（x）为增函数，
q（x）∈（-∞，0），
当x≥1时，q（x）=lnx+1-x²，
q′（x）=

1

x

-2x=

1-2x2

x

＜0总成立，
q（x）为减函数，q（x）∈（-∞，0]
综上，x＞0时，q（x）∈（-∞，0]
所以，m≤0．
故m的取值范围是（-∞，0]．

点评：本题考查利用函数的最大值的求法，考查利用导数求实数的取值范围，解题时要认真审题，注意配方法、等价转化思想的合理运用．