题目内容

设函数f（x）=（x≥1）的反函数是f-1（x），又在数列｛an｝中，a1=1，an=f-1（an-1）（n∈N*，n≥2）.已知bn=an2（n∈N*），求数列｛bn｝的通项公式.

思路解析：这是数列与函数的综合问题，先要求出反函数f-1（x）的表达式，再写出数列｛an｝的递推关系，再来研究数列｛bn｝的特点写出它的通项公式.

解：由已知可求出反函数f-1（x）=（x≥0），

所以数列｛an｝满足an=（n∈N*，n≥2），且a1=1，

即有an2=an-12+1，

所以bn-bn-1=1（n∈N*，n≥2），b1=1.

所以数列｛bn｝是以1为首项，公差等于1的等差数列.

所以bn=1+（n-1）·1=n.

练习册系列答案
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设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
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3
4
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15
2
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其中真命题的个数为（　　）
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
设函数f（x）=x（x-1）2，x＞0．
（1）求f（x）的极值；
（2）设0＜a≤1，记f（x）在（0，a]上的最大值为F（a），求函数的最小值；
（3）设函数g（x）=lnx-2x2+4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值．
设函数f（x）=x（x-1）2，x＞0．
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