题目内容
我校学生会要组建学生明星篮球队，需要在各班选拔预备队员．选拔过程中每人投篮5次，若投中3次则进入B级，投中4次及以上则进入A级，已知阿达每次投篮投中的概率是
．（1）设阿达在5次投篮中，投中次数为X，求X的分布列和它的数学期望E（X）；
（2）求阿达投篮4次恰好进入B级的概率；
（3）为增加竞争力度，学生会下发新规：连续两次投篮不中必须停止投篮，求阿达投篮次数不超过4次的概率．
【答案】分析：（1）由题意知X的取值为0，1，2，3，4，5，且
，根据符合二项分布写出变量的概率，写出分布列做出期望值．
（2）阿达投篮4次恰好进入B级表示选拔过程中每人投篮5次，若投中3次则进入B级，根据符合独立重复试验的概率公式，得到结果．
（3）阿达“投篮次数不超过4次”这一事件有如下几种情况：①阿达共投篮两次，两次都不中，②阿达共投篮三次，依次是中，不中，不中．③阿达共投篮四次，依次是中，中，不中，不中；不中，中，不中，不中，
这三种结果是互斥的，得到概率．
解答：解：（1）由已知X的取值为0，1，2，3，4，5，且
∴
…（2分）
∴X分布列为
…（4分）
．…（6分）
（2）设“阿达投篮4次恰好进入B级”为事件A，
则
．…（8分）
（3）设“阿达第i次投篮命中”为事件Ai（i=1，2，3，4），若i≠j，则Ai与Aj独立（i，j=1，2，3，4），根据新规：若连续两次投篮不中则停止投篮，阿达“投篮次数不超过4次”这一事件有如下几种情况：
①阿达共投篮两次，两次都不中，其概率为
…（9分）
②阿达共投篮三次，依次是中，不中，不中．其概率为
…（11分）
③阿达共投篮四次，依次是中，中，不中，不中；不中，中，不中，不中，
即
，又
互斥．
故其概率为
…（13分）
又①②③这三种情况两两互斥，故阿达投篮次数不超过4次的概率为
（14分）
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，看出独立重复试验的概率公式，本题解题的关键是理解条件中所给的事件包含的结果，本题是一个综合题目．
，根据符合二项分布写出变量的概率，写出分布列做出期望值．（2）阿达投篮4次恰好进入B级表示选拔过程中每人投篮5次，若投中3次则进入B级，根据符合独立重复试验的概率公式，得到结果．
（3）阿达“投篮次数不超过4次”这一事件有如下几种情况：①阿达共投篮两次，两次都不中，②阿达共投篮三次，依次是中，不中，不中．③阿达共投篮四次，依次是中，中，不中，不中；不中，中，不中，不中，
这三种结果是互斥的，得到概率．
解答：解：（1）由已知X的取值为0，1，2，3，4，5，且
∴
…（2分）∴X分布列为
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
| P |  |  |  |  |  |  |
．…（6分）（2）设“阿达投篮4次恰好进入B级”为事件A，
则
．…（8分）（3）设“阿达第i次投篮命中”为事件Ai（i=1，2，3，4），若i≠j，则Ai与Aj独立（i，j=1，2，3，4），根据新规：若连续两次投篮不中则停止投篮，阿达“投篮次数不超过4次”这一事件有如下几种情况：
①阿达共投篮两次，两次都不中，其概率为
…（9分）②阿达共投篮三次，依次是中，不中，不中．其概率为
…（11分）③阿达共投篮四次，依次是中，中，不中，不中；不中，中，不中，不中，
即
，又
互斥．故其概率为
…（13分）又①②③这三种情况两两互斥，故阿达投篮次数不超过4次的概率为
（14分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，看出独立重复试验的概率公式，本题解题的关键是理解条件中所给的事件包含的结果，本题是一个综合题目．
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