Question

设函数（n∈N^*）的最小值为a_n，最大值为b_n，又C_n=3（a_n+b_n）-9
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求（n∈N^*）的值
（3）设，是否存在最小的整数m，使对任意的n∈N^*都有成立？若存在，求出m的值；若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）函数可变形为（y-1）x²+（y+1）x+y-n=0①，当y=1 时不符合题意；当y≠1 时，方程①为二次方程，利用△=（y+1）²-4（y-1）（y-n）≥0，可求函数的值域，根据函数（n∈N^*）的最小值为a_n，最大值为b_n，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）由题意知a_n，b_n 是方程3y²-（4n+6）y-1+4n=0 的两根，则，从而C_n=4n-3 （n∈N^*），求出T_n=C₁+C₂+…+C_n n（2n-1），即可求极限；
（3）根据
可得，从而数列{d_n} 为递减数列，从而数列 {d_n} 的最大项为， 恒成立，只需，故可求最小的整数．
解答：解：（1）函数可变形为（y-1）x²+（y+1）x+y-n=0①
当y=1 时不符合题意；当y≠1 时，方程①为二次方程，
∵x∈R
∴△=（y+1）²-4（y-1）（y-n）≥0 得-3y²+（4n+6）y+1-4n≥0 且y≠1
∴
∵函数（n∈N^*）的最小值为a_n，最大值为b_n
∴
（2）由题意知a_n，b_n 是方程3y²-（4n+6）y-1+4n=0 的两根，
则 于是C_n=4n-3 （n∈N^*） …4分
设T_n=C₁+C₂+…+C_n
由C_n=4n-3 （n∈N^*），可知T_n=n（2n-1）
∴=  …8分
（3）∵
∴
∴数列{d_n} 为递减数列，从而数列 {d_n} 的最大项为，
即 恒成立，只需，
∴，故最小的整数m=8．…13分
点评：本题以函数为载体，考查数列的通项，考查数列的极限，考查数列的单调性及恒成立问题，有综合性．