题目内容
设函数f(x)的定义域、值域均为R，f(x)的反函数为f-1(x)，且对任意实数x，均有f(x)+f-1(x)＜
x.定义数列{aN}:a0=8,a1=10,aN=f(an-1),N=1,2….(1)求证:an+1 +an-1＜
aN(N=1,2…).
(2)设bN=an+1-2aN,N=0,1,2,….求证: bN＜(-6)(
)n(N∈N*).
(3)是否存在常数A和B,同时满足:
①当N=0及N=1时,有an=
成立；
②当N=2，3…时，有an＜
成立.
如果存在满足上述条件的实数A、B，求出A、B的值；如果不存在，证明你的结论.
证明：(1) ∵f(x)+f-1(x)＜x,令x=an,∴f(an)+ f-1(an)＜an,
即an+1＋an-1＜an.(2)证明：∵an+1＜an-an-1,∴an+1-2an＜(an-2an-1),即bn＜
bn-1.
∵b0=a1
)nb0=(-6)(
)n(n∈N*).
(3)解:由(2)可知an+1＜2an+(-6)(
)n.
假设存在常数A和B，使得an=
对n=0,1成立，则
解得A=B=4.
下面用数字归纳法证明an=
对一切n≥2,n∈N成立.
①当n=2时，由an+1+an-1＜
an得a2＜
a1-a0=
×10-8=17=
.
∴n=2时，an＜
成立.
②假设n=k(k≥2)时，不等式成立，即ak＜
,
则ak+1＜2ak+(-6)(
)k＜2×
+(-6)(
)k=
.
这说明n=k+1时，不等式成立.
综合①②，可知an＜
对一切n≥2,n∈N成立.
∴A=B=4满足题设.
练习册系列答案
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上的奇函数，当
时，
（a为实数）．
时，f(x)的解析式；
上是增函数，求a的取值范围；
)＝
________.