Question

18.已知抛物线C₁：y=x²+2x和C₂：y=－x²+a，如果直线l同时是C₁和C₂的切线，称l是C₁和C₂的公切线.公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.

（Ⅰ）a取什么值时，C₁和C₂有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；

（Ⅱ）若C₁和C₂有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.

Answer 1

18.

（Ⅰ）解：函数y=x²+2x的导数y′=2x+2.

曲线C₁在点P（x₁，x₁²+2x₁）的切线方程是

y－（x₁²+2x₁）=（2x₁+2）（x－x₁）.

即y=（2x₁+2）x－x₁²                                                       ①

函数y=－x²+a的导数y′=－2x，

曲线C₂在点Q（x₂，－x₂²+a）的切线方程是

y－（－x₂²+a）=－2x₂（x－x₂），

即y=－2x₂x+x₂²+a.                                ②

如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程，

所以

消去x₂得方程

2x₁²+2x₁+1+a=0.

 

若判别式Δ=4－4×2（1+a）=0时，即a=－时解得x₁=－.

此时点P与Q重合.

即当a=－时C₁和C₂有且仅有一条公切线.

由①得公切线方程为y=x－.

 

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，当a<－时C₁和C₂有两条公切线.

 

设一条公切线上切点为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）.

 

其中P在C₁上，Q在C₂上，则有

x₁+x₂=－1，

y₁+y₂=x₁²+2x₁+（－x₂²+a）=x₁²+2x₁－（x₁+1）²+a=－1+a.

 

线段PQ的中点为（－，）.

同理，另一条公切线段P′Q′的中点也是（－，）.

所以公切线段PQ和P′Q′互相平分.