Question

已知抛物线C顶点在坐标原点，准线方程为x=-1
（Ⅰ）求抛物线C的方程．
（Ⅱ）若直线经过抛物线C的焦点，与抛物线交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为2，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由抛物线的定义即可得出；
（II）设直线AB的方程为：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与抛物线的方程联立可得根与系数的关系，再利用中点坐标公式即可得出直线的斜率．

解答：解：（Ⅰ）∵抛物线C顶点在坐标原点，准线方程为x=-1，
∴可设抛物线C的方程为：y²=2px（p＞0），
由直线方程可得-

p

2

=-1，解得p=2，
∴抛物线C的方程为：y²=4x．
（Ⅱ）由（1）可知抛物线C的焦点坐标为（1，0），
设直线AB的方程为：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y2=4x y=k(x-1)

，消去y得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x1+x2=

2k2+4

k2

=2×2，解得k=±

2

，
所求直线AB的方程为：y=

2

x-

2

或y=-

2

x+

2

．

点评：本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．