题目内容
（2013•丽水一模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1），（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=kx+t交抛物线于不同的两点M，N，若抛物线上一点C满足
| OC |
| OM |
| ON |
分析：（Ⅰ） 设抛物线方程为x2=2py，把点（2，1）代入求得p即可；
（II） 因为直线与圆相切，利用相切的性质即可得出k与t 的关系式，再把直线的方程与抛物线的方程联立得到关于x的一元二次方程，利用判别式△＞0得到t的取值范围，利用根与系数的关系及已知满足
=λ(
+
)（λ＞0），即可得出λ的取值范围．
（II） 因为直线与圆相切，利用相切的性质即可得出k与t 的关系式，再把直线的方程与抛物线的方程联立得到关于x的一元二次方程，利用判别式△＞0得到t的取值范围，利用根与系数的关系及已知满足
| OC |
| OM |
| ON |
解答：
解（Ⅰ） 设抛物线方程为x2=2py，
由已知得：22=2p所以 p=2
所以抛物线的标准方程为 x2=4y．
（Ⅱ） 因为直线与圆相切，
所以
=1⇒k2=t2+2t
把直线方程代入抛物线方程并整理得：x2-4kx-4t=0
由△=16k2+16t=16（t2+2t）+16t＞0
得 t＞0或t＜-3
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2=4ky1+y2=(kx1+t)+(kx2+t)=k(x1+x2)+2t=4k2+2t
由
=λ(
+
)=λ(x1+x2，y1+y2)=(4kλ，(4k2+2t)λ)
得 C（4kλ，（4k2+2t）λ）
因为点C在抛物线x2=4y上，
所以，16k2λ2=4（4k2+2t）λ⇒λ=1+
=1+
=1+
因为t＞0或t＜-3，
所以 2t+4＞4或 2t+4＜-2
所以 λ的取值范围为 (
，1)∪(1，
)．
解（Ⅰ） 设抛物线方程为x2=2py，由已知得：22=2p所以 p=2
所以抛物线的标准方程为 x2=4y．
（Ⅱ） 因为直线与圆相切，
所以
| |t+1| | ||
|
把直线方程代入抛物线方程并整理得：x2-4kx-4t=0
由△=16k2+16t=16（t2+2t）+16t＞0
得 t＞0或t＜-3
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2=4ky1+y2=(kx1+t)+(kx2+t)=k(x1+x2)+2t=4k2+2t
由
| OC |
| OM |
| ON |
得 C（4kλ，（4k2+2t）λ）
因为点C在抛物线x2=4y上，
所以，16k2λ2=4（4k2+2t）λ⇒λ=1+
| t |
| 2k2 |
| t |
| 2t2+4t |
| 1 |
| 2t+4 |
因为t＞0或t＜-3，
所以 2t+4＞4或 2t+4＜-2
所以 λ的取值范围为 (
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
点评：本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线及圆的位置关系等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力．
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