题目内容

设f（x）= $数学公式$ 是R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的反函数f^-1（x）．

解：（1）由题意知f（-x）=-f（x）对x∈R恒成立，即 $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
即（a-1）（2^x+1）=0，
∴a=1．
（2）由（1）知f（x）= $\text{[math]}$ ，由y= $\text{[math]}$ ，得 2^x= $\text{[math]}$ ，x=log₂ $\text{[math]}$ ，
∴f^-1（x）=log₂ $\text{[math]}$ （-1＜x＜1）．
分析：（1）利用奇函数的定义f（-x）=-f（x）对x∈R恒成立，解方程求出a的值．
（2）由（1）知f（x）= $\text{[math]}$ ，由y= $\text{[math]}$ ，解出 x的解析式，再把自变量和函数交换位置，并注明反函数的定义域（即原函数的值域）即得反函数．
点评：本题考查求一个函数的反函数的方法，奇函数的定义以及指数式与对数式的互化．

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（2010•温州二模）设y=f（x-1）是R上的奇函数，若y=f（x）在（-1，+∞）上是增函数，且f（0）=1，则满足f（m）＞-1的实数m的范围是（　　）

A．（-2，+∞）

B．（-1，+∞）

C．（-2，0）

D．（-∞，0）

已知下列命题：
①若f（x）为减函数，则-f（x）为增函数；
②若f（0）＜f（4），则函数f（x）不是R上的减函数；
③若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；
④设函数f（x）是在区间[a，b]上图象连续的函数，且f（a）•f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根．
⑤若函数f(x)=

(2-m)x+2m(x＜1)

(m-1)|x+1|(x≥1)

在R上是增函数，则m的取值范围是1＜m＜2；
其中正确命题的序号有

（把所有正确命题的番号都填上）

设f（x）是定义在D上的函数，若对D中的任意两数x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有f（

f(x2)，则称f（x）为定义在D上的C函数．
（Ⅰ）试判断函数f（x）=x²是否为定义域上的C函数，并说明理由；
（Ⅱ）若函数f（x）是R上的奇函数，试证明f（x）不是R上的C函数；
（Ⅲ）设f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数a∈[0，1]以及D中的任意两数x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有f（ax₁+（1-a）x₂）≤af（x₁）+（1-a）f（x₂），则称f（x）为定义在D 上的π函数．已知f（x）是R上的m函数．m是给定的正整数，设a_n=f（n），n=0，1，2，…m，且a₀=0，a_m=2m，记S_f=a₁+a₂+…+a_m．对于满足条件的任意函数f（x），试求S_f的最大值．

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数h使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+h⊆D，且f（x+h）≥f（x），则称f（x）为M上的“h阶高调函数”．给出如下结论：
①若函数f（x）在R上单调递增，则存在非零实数h使f（x）为R上的“h阶高调函数”；
②若函数f（x）为R上的“h阶高调函数”，则f（x）在R上单调递增；
③若函数f（x）=x²为区间[-1，+∞）上的“h阶高诬蔑财函数”，则h≥2；
④若函数f（x）在R上的奇函数，且x≥0时，f（x）=|x-1|-1，则f（x）只能是R上的“4阶高调函数”．
其中正确结论的序号为（　　）

设y=f（x-1）是R上的奇函数，若y=f（x）在（-1，+∞）上是增函数，且f（0）=1，则满足f（m）＞-1的实数m的范围是（）
A．（-2，+∞）
B．（-1，+∞）
C．（-2，0）
D．（-∞，0）