Question

（2012•梅州一模）如图，梯形ABCD中，AB=BC=1，AD=2，∠CBA=∠BAD=90°，沿对角线AC将△ABC折起，使点B在平面ACD内的射影O恰在AC上．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线BC与AD所成的角；
（Ⅲ）求二面角B-AD-C的余弦值．

Answer 1

分析：解法1：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，利用向量的方法证明

AB

•

CD

=0，可得AB⊥CD，再利用AB⊥BC，可得AB⊥平面BCD；
（Ⅱ）求出

BC

=(-

2

2

，0，-

2

2

)，

AD

=(-

2

，

2

，0)，利用向量夹角公式，可求异面直线BC与AD所成的角；
（Ⅲ）求出平面ACD的法向量

OB

=(0，0，

2

2

)，平面ABD的法向量

n

=(1，1，1)，利用向量夹角公式，可求二面角B-AD-C的平面角；
解法2：（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理证明AB⊥平面BCD；
（Ⅱ）取CD中点E，AB中点F，连OE，OF，EF，则可得∠EOF或其补角为AD，BC所成的角．在△EOF中，利用余弦定理可求异面直线BC与AD所成的角；
（Ⅲ）过O作OG⊥AD于G，连BG，则∠OGB为所求二面角的平面角，在Rt△OGB中可求．

解答：解法1：（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AC=DC=

2

，AD=2，∴AC²+DC²=AD²，∴AC⊥DC．
又BO⊥平面ACD，AC?平面ACD，∴BO⊥AC，又AB=CB，∴O为AC中点．
以O为坐标原点，以OA，OB所在直线分别为x，z轴，以过O且平行于CD的直线为y轴建立空间直角坐标系．…（3分）
则A(

2

2

，0，0)，B(0，0，

2

2

)，C(-

2

2

，0，0)，D(-

2

2

，

2

，0)，
∴

AB

=(-

2

2

，0，

2

2

)，

CD

=(0，

2

，0)，∴

AB

•

CD

=0，∴AB⊥CD，
又AB⊥BC，BC∩CD=C，∴AB⊥平面BCD．…（6分）
（Ⅱ）∵

BC

=(-

2

2

，0，-

2

2

)，

AD

=(-

2

，

2

，0)，∴cos＜

AD

，

BC

＞=

1

2

，
∴＜

AD

，

BC

＞=60°，即异面直线BC与AD所成的角为60°．…（9分）
（Ⅲ）平面ACD的法向量为

OB

=(0，0，

2

2

)．
设平面ABD的法向量为

n

=(x，y，z)，则

n • AB =0 n • AD =0

，即

- 2 2 x+ 2 2 z=0 - 2 x+ 2 y=0

，解得

x=z y=z

，
取z=1，∴

n

=(1，1，1)．
设二面角B-AD-C的平面角为θ，则cosθ=

OB • n

| OB || n |

=

2 2

2 2 × 3

=

3

3

．…（12分）
解法2：（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AC=DC=

2

，AD=2，∴AC²+DC²=AD²，∴AC⊥DC．
又BO⊥平面ACD，∴AB⊥CD，又AB⊥BC，BC∩CD=C，∴AB⊥平面BCD…（4分）
（Ⅱ）∵BA=BC，BO⊥AC，∴O为AC中点．
取CD中点E，AB中点F，连OE，OF，EF，则OE∥AD，OF∥BC，

∴∠EOF或其补角为AD，BC所成的角．
作FH∥BO交AC于H，连HE，则FH⊥平面ACD，
∴EF2=FH2+EH2=FH2+HC2+EC2=(

2

4

)2+(

3 2

4

)2+(

2

2

)2=

7

4

，
在△EOF中，∵FO=

1

2

，EO=2，∴cos∠EOF=

FO2+EO2-EF2

2EO•FO

=-

1

2

，
∴∠EOF=120°，故异面直线BC与AD所成的角为60°．…（8分）
（Ⅲ）过O作OG⊥AD于G，连BG，则∠OGB为所求二面角的平面角．
Rt△OGB中，OB=

2

2

，OG=

1

2

，BG=

3

2

，∴cos∠OGB=

3

3

．…（12分）

点评：本题考查线面垂直，考查线线角，考查面面角，考查传统方法与向量方法的结合，属于中档题．