Question

（本小题满分12分）

已知函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）f（x）的单调递增区间是（e，＋∞），递减区间是（0，e）．（2）．

【解析】(1)当m=-2时，解析式确定，可以求导，利用导数大（小）于零，求出单调增（减）区间，同时要注意函数的定义域.

(2) 当m＝时，不等式g（x）≥f（x），即x³＋x≥x恒成立．

由于x>0，所以x²＋1≥ln x＋，亦即x²≥ln x＋，所以a≥,

然后构造函数,转化为利用导数研究其单调性，极值，最大值即可.

（1）当m＝－2时，f（x）＝x（ln x－2）＝xln x－2x，

定义域为（0，＋∞），且f′（x）＝ln x－1.

由f′（x）>0，得ln x－1>0，所以x>e.由f′（x）<0，得ln x－1<0，所以0<x<e.

故f（x）的单调递增区间是（e，＋∞），递减区间是（0，e）．

（2）当m＝时，不等式g（x）≥f（x），即x³＋x≥x恒成立．

由于x>0，所以x²＋1≥ln x＋，亦即x²≥ln x＋，所以a≥ .

令h（x）＝ ，则h′（x）＝，由h′（x）＝0得x＝1.

且当0<x<1时，h′（x）>0；当x>1时，h′（x）<0，

即h（x）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减， 

所以h（x）在x＝1处取得极大值h（1）＝，也就是函数h（x）在定义域上的最大值．因此要使≥恒成立，需有≥， 的取值范围为 ．