Question

【题目】已知函数/(x.

（1）当时，求在最小值；

（2）若存在单调递减区间，求的取值范围；

（3）求证：.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）见解析

【解析】分析：（I）可先求f′（x），从而判断f（x）在x∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x），可得若f（x）存在单调递减区间，需h′（x）＜0有正数解．从而转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通过对a分a=0，a＜0与当a＞0三种情况讨论解得a的取值范围；（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即.，再构造函数，令，有，从而，问题可解决；（法二）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1，成立；设时，命题成立，即，，再去证明n=k+1时，即可（需用好归纳假设）．

详解：

（1），定义域为.

∵

∴在上是增函数.

.

（2）因为

因为若存在单调递减区间，所以有正数解.

即有有解.

①当时，明显成立.

②当时，开口向下的抛物线，总有有解；

③当时，开口向上的抛物线，即方程有正跟.

当时，；

，解得.

综合①②③知：.

综上所述：的取值范围为.

（3）（法一）根据（1）的结论，当时，，即.

令，则有，

∴.

∵，

∴.

（法二）当时，.

∵，∴，即时命题成立.

设当时，命题成立，即.

∴时，

根据（1）的结论，当时，，即.

令，则有，

则有，

即时命题也成立.

因此，由数学归纳法可知不等式成立.