Question

正方体ABCD—EFGH的棱长为a，点P在AC上，Q在BG上，AP=BQ=a．

(1)求直线PQ与平面ABCD所成角的正切值；

(2)求证：PQ⊥AD．

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：作PM上BC于M，连QM， ∵AB⊥BC，∴PM∥AB，于是． ∵AP=BQ， ∴GQ=CP,这样可得， ∴QM∥GC． ∴GC⊥平面AC，∴QM⊥平面AC， ∠QPM是PQ与平面AC所成的角， QM=BQ=a,MP=CP=(a-a) =a， ∴tanQPM==． (2)证明：上面已证MP∥AB，QM∥GC，而AB⊥BC，QM⊥BC， ∴BC⊥MP，且BC⊥QM， ∴BC⊥平面PQM，因此BC⊥PQ，由AD∥Bc可知PQ⊥AD． 点评：(1)中求直线PQ与平面ABCD所成角的正切值的过程是“作、证、算”，即先作出∠QPM，然后再证明∠QPM是PQ与平面ABCD所成角，最后再计算其正切值．(2)中证PQ⊥AD，由于BC∥AD，于是就把证PQ⊥AD的问题转化成了证明PQ⊥BC的问题．