Question

已知直线的方向向量为及定点，动点满足，，，其中点N在直线l上．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同动点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，若α+β=θ为定值（0＜θ＜π），试问直线AB是否恒过定点，若AB恒过定点，请求出该定点的坐标，若AB不恒过定点，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意知：|MF|=|MN|，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，由此能求出轨迹方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意得x₁≠x₂，所以AB的斜率存在，设其方程为y=kx+b，韦达定理知，当时，直线AB恒过定点（-8，0）；当时，直线AB恒过定点．
解答：解：（1）由题意知：|MF|=|MN|，
由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F（2，0）为焦点，
x=-2为准线，
所以轨迹方程为y²=8x；…（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意得x₁≠x₂（否则α+β=π）且x₁，x₂≠0，
所以AB的斜率存在，设其方程为y=kx+b，
显然，
将y=kx+b与y²=8x消去x，得ky²-8y+8b=0，由韦达定理知①…（6分）
（i）当时，即时，
tanα•tanβ=1，
所以，，
所以y₁y₂=64，由①知：，所以b=8k．
因此直线AB的方程可表示为y=kx+8k，
即k（x+8）-y=0所以直线AB恒过定点（-8，0）…（8分）
（ii）当时，由α+β=θ，
得tanθ=tan（α+β）==，…（10分）
将①式代入上式整理化简可得：，
所以，
此时，直线AB的方程可表示为y=kx+，
即
所以直线AB恒过定点
当时，AB恒过定点（-8，0），当时，
AB恒过定点．…（12分）
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．