Question

已知函数f（x）=xlnx，
(Ⅰ)求f(x)的最小值；
(Ⅱ)讨论关于x的方程f(x)-m=0(m∈R)的解的个数；
(Ⅲ)当a＞0，b＞0时，求证：f(a)+f(b)≥f(a+b)-(a+b)ln2。

Answer 1

解：(Ⅰ)f(x)的定义域为（0，+∞），，
令f′(x)=0，得，
当x∈（0，+∞）时，f′(x)，f(x)变化的情况如下：

所以，f(x)在（0，+∞）的最小值是。
(Ⅱ)当时，f(x)单调递减且f(x)的取值范围是；
当时，f(x)单调递增且f(x)的取值范围是，
下面讨论f(x)-m=0的解：
所以，当时，原方程无解；
当或m≥0时，原方程有唯一解；
当时，原方程有两解。
(Ⅲ)原不等式可化为：，
设函数，
则，
，
令，则，∴，
∴，解得：，
令，解得：，
所以，函数g（x）在上单调递减，在上单调递增，
∴g（x）在（0，k）上的最小值为，
∴当x∈（0，k）时，总有，
即，
令x=a，k-x=b，则有。