题目内容

设O为坐标原点，F₁，F₂是双曲线 $数学公式$ - $数学公式$ =1（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F₁PF₂=60°，|OP|= $数学公式$ a，则该双曲线的离心率为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
2
D.
$数学公式$

A
分析：利用双曲线的定义与余弦定理可得到a²与c²的关系，从而可求得该双曲线的离心率．
解答：设该双曲线的离心率为e，依题意，||PF₁|-|PF₂||=2a，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ -2|PF₁|•|PF₂|=4a²，
不妨设 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =x，|PF₁|•|PF₂|=y，
上式为：x-2y=4a²，①
∵∠F₁P F₂=60°，
∴在△F₁P F₂中，由余弦定理得， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ -2|PF₁|•|PF₂|•cos60°=4c²，②
即x-y=4c²，②
又|OP|= $\text{[math]}$ a， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ×cos60°=4 $\text{[math]}$ =7a²，
即 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +|PF₁|•|PF₂|=7a²，
即x+y=7a²，③
由②+③得：2x=4c²+7a²，
①+③×2得：x=6a²，于是有4c²=5a²，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故选A．
点评：本题考查双曲线的定义与余弦定理的应用，得到a²与c²的关系是关键，也是难点，考查分析问题，解决问题的能力，属于中档题．