Question

设O为坐标原点，F₁，F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，若在椭圆上存在点P满足∠F1PF2=

π

3

，且|OP|=

3

2

a，则该椭圆的离心率为

1

2

．

Answer 1

分析：由于

PO

=

1

2

（

PF1

+

PF2

），两边平方，再利用余弦定理即可求得该椭圆的离心率．

解答：解：令|

PF1

|=m，|

PF2

|=n，m+n=2a．
∵

PO

=

1

2

（

PF1

+

PF2

），|

PO

|=

3

2

a，
∴

PO

2=

1

4

（

PF1

2+2

PF1

•

PF2

+

PF2

2）
即

3

4

a²=

1

4

（m²+2mncos

π

3

+n²），
∴3a²=m²+n²+mn=（m+n）²-mn=4a²-mn，
∴a²=mn．
在△PF₁F₂中，由余弦定理得：|F1F2|2=m²+n²-2mn×

1

2

=（m+n）²-3mn，
即4c²=4a²-3mn=4a²-3a²=a²，
∴e=

c

a

=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查向量的数量积与余弦定理的综合应用，考查方程思想与运算能力，属于中档题．