题目内容

设an=(2n+1)(3n+2),求它的前n项和Sn,并用数学归纳法证明结论.

解:S1=a1=15;?

S2=a1+a2=55;?

S3=a1+a2+a3=132.?

猜想Sn=(4n3+13n2+13n).?

证明:(1)n=1时显然成立.?

(2)假设n=k时成立,即Sk=(4k3+13k2+13k),?

则Sk+1=Sk+ak+1?

=(4k3+13k2+13k)+(2k+3)(3k+5)?

=(4k3+13k2+13k)+6k2+19k+15?

=(4k3+25k2+51k+30)?

=［4(k+1)3+13(k+1)2+13(k+1)］.?

∴当n=k+1时也成立.?

由(1)(2)知,Sn=(4n3+13n2+13n)对任意n∈N*成立.

练习册系列答案
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（2012•浦东新区一模）定义数列{xn}，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有（xn+1-p）（xn-p）＜0成立，那么我们称数列{xn}为“p-摆动数列”．
（1）设an=2n-1，bn=(-
1
2
)n，n∈N*，判断{an}、{bn}是否为“p-摆动数列”，并说明理由；
（2）已知“p-摆动数列”{cn}满足cn+1=
1
cn+1
，c1=1，求常数p的值；
（3）设dn=（-1）n•（2n-1），且数列{dn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn}是“p-摆动数列”，并求出常数p的取值范围．
（2012•浦东新区一模）定义数列{xn}，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有（xn+1-p）（xn-p）＜0成立，那么我们称数列{xn}为“p-摆动数列”．
（1）设an=2n-1，bn=(-
12
)n，n∈N*，判断{an}、{bn}是否为“p-摆动数列”，并说明理由；
（2）设数列{cn}为“p-摆动数列”，c1＞p，求证：对任意正整数m，n∈N*，总有c2n＜c2m-1成立；
（3）设数列{dn}的前n项和为Sn，且Sn=(-1)n•n，试问：数列{dn}是否为“p-摆动数列”，若是，求出p的取值范围；若不是，说明理由．
设an=(2n+1)(3n+2),求它的前n项和Sn,并用数学归纳法证明结论.

定义数列{xn}，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有（xn+1-p）（xn-p）＜0成立，那么我们称数列{xn}为“p-摆动数列”．
（1）设an=2n-1，，n∈N*，判断{an}、{bn}是否为“p-摆动数列”，并说明理由；
（2）已知“p-摆动数列”{cn}满足cn+1=，c1=1，求常数p的值；
（3）设dn=（-1）n•（2n-1），且数列{dn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn}是“p-摆动数列”，并求出常数p的取值范围．

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