Question

已知矩阵M=[

2 1 1 a

]的一个特征值是3，求直线x-2y-3=0在M作用下的直线方程．

Answer 1

分析：根据矩阵M=[

2 1 1 a

]的一个特征值是3可求出a的值，然后设直线x-2y-3=0上任意一点（x，y）在M作用下对应的点为（x′，y′），根据矩阵变换特点，写出两对坐标之间的关系，把已知的点的坐标用未知的坐标表示，代入已知直线的方程，得到结果．

解答：解：因为矩阵M=[

2 1 1 a

]的一个特征值是3
设f（λ）=

.

λ-2 -1 -1 λ-a

.

=（λ-2）（λ-a）-1=0
则（3-2）（λ-a）-1=0，解得a=2
∴M=[

2 1 1 2

]
设直线x-2y-3=0上任意一点（x，y）在M作用下对应的点为（x′，y′），
则有[

2 1 1 2

]

x   y

=

x′   y′

，整理得

2x+y=x′ x+2y=y′

即

x= 2 3 x′- 1 3 y′ y= 2 3 y′- 1 3 x′

代入x-2y-3=0，整理得4x′-5y′-9=0
故所求直线方程为4x-5y-9=0

点评：本题主要考查了特征值、特征向量的应用以及矩阵的变换，是一个基础题，本题解题的关键是得到两个点的坐标之间的关系，注意数字的运算．