Question

已知各项均为正数的等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若

am•an

=2a1，则

1

m

+

9

n

的最小值为

4

．

Answer 1

分析：由已知中正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，我们易求出数列的公比，再结合存在两项a_m、a_n使得

aman

=2a1，我们可以求出正整数m，n的和，再结合基本不等式中“1”的活用，即可得到答案．

解答：解：设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，
∵a₇=a₆+2a₅，则a₁•q⁶=a₁•q⁵+2a₁•q⁴
即q²-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去）
若

aman

=2a1，即 a1

2m+n-2

=2a1，
则m+n=4，
则4（

1

m

+

9

n

）=（m+n）（

1

m

+

9

n

）=10+（

n

m

+

9m

n

）≥10+6=16
则

1

m

+

9

n

≥4，
当

n

m

=

9m

n

时，即m=1，n=3时，等号成立，即最小值为4
故答案为 4

点评：此题主要考查基本不等式的应用问题，其中涉及到等比数列通项的问题，属于综合性试题，考查学生的灵活应用能力，属于中档题目．