题目内容

已知函数f（x）=x2+alnx（a为实数），函数y=g（x）是函数y=f（x）的导函数．
（1）求函数y=g（x）的单调区间；
（2）当函数y=g（x）最小值为4时，求函数y=f（x）解析式．
分析：（1）先对函数y=g（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据g′（x）＞0求得的区间是单调增区间，g′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（2）由（1）知可得g（x）的最小值，从而列出方程即得：∴a=2，故f（x）=x2+2lnx．
解答：解：∵f′(x)=2x+
a
x
，∴g(x)=2x+
a
x

（1）∵g′(x)=2-
a
x2

①当a＜0时，g'（x）＞0恒成立，∴函数g（x）的单调递增区间为（0，+∞）
②当a＞0时，有下表
x （0，
2a
2
）
2a
2
 （
2a
2
，+∞）
g′（x）  -  0 +
 g（x） 减 极小值  增 
∴函数g（x）的单调递增区间为(
2a
2
，+∞)；
函数g（x）的单调递减区间为（0，
2a
2
）
（2）由（1）知g(x)min=g(
2a
2
)=
2a
+
2a
=4
∴a=2，故f（x）=x2+2lnx
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数在最大值、最小值问题中的应用等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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