Question

在四棱锥P-ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）当MN⊥平面PCD时，求二面角P-CD-B的大小．

Answer 1

（1）证明：取CD的中点E，连接ME、NE．
∵M、N分别是AB、PC的中点，
∴NE∥PD，ME∥AD．于是NE∥平面PAD，
ME∥平面PAD．
∴平面MNE∥平面PAD，MN?平面MNE．
∴MN∥平面PAD．
（2）解：设MA=MB=a，BC=b，则MC=．
∵N是PC的中点，MN⊥平面PCD，
∴MN⊥PC．于是MP=MC=．
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AM，PA==b．
于是PD=b，EN是△PDC的中位线，EN=PD=b．
∵ME⊥CD，MN⊥平面PCD，
∴EN⊥CD，∠MEN即为二面角P-CD-B的平面角．
设为α，于是cosα==，α=45°，即二面角P-CD-B的大小为45°．
分析：（1）取CD的中点E，连接ME、NE，要证MN∥平面PAD，只需证明MN所在平面MNE平行平面PAD即可．
（2）MN⊥平面PCD，说明∠MEN即为二面角P-CD-B的平面角，解三角形MEN，求二面角P-CD-B的大小．
点评：本题考查直线与平面平行的判定，二面角及其度量，考查计算能力，逻辑思维能力，是中档题．