Question

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为4的正方形，PD⊥平面ABCD，PD=6，E，F分别为PB，AB中点．
（1）证明：BC⊥平面PDC；
（2）求三棱锥P-DEF的体积．

Answer 1

分析：（1）由底面ABCD是正方形可得BC⊥CD，再由PD⊥平面ABCD可得PD⊥BC，进而可得结论．
（2））由E为PB的中点可得P，B两点到平面DEF的距离相等，可得V_{三棱锥P-DEF}=V_{三棱锥B-DEF}=V_{三棱锥E-BDF}，根据三角形的中位线定理可得EE′=

1

2

PD=3，可以求出三棱锥E-BDF的体积即可．

解答：解：（1）∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC．
又底面ABCD是正方形，故BC⊥CD．
又PD∩DC=D，
∴BC⊥平面PDC．
（2）∵E为PB的中点，∴P，B两点到平面DEF的距离相等．
∴V_{三棱锥P-DEF}=V_{三棱锥B-DEF}=V_{三棱锥E-BDF}．
设BD中点E^′，则据三角形的中位线定理可得EE′=

1

2

PD=3．
且EE^′∥PD，又PD⊥平面ABCD，
∴EE^′⊥平面ABCD，
又V_{三棱锥E-BDF}=

1

3

×

1

2

×2×4×3=4．
故V_{三棱锥P-DEF}=V_{三棱锥E-BDF}=4．

点评：本题考查了线面垂直和三棱锥的体积，掌握由线线垂直得到线面的方法及善于转化求体积是解决问题的关键．