Question

设函数，曲线在点处的切线方程为

。（1）求的解析式；（2）证明：曲线的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（3）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值。

Answer 1

解：

（Ⅰ），

于是解得或

因，故．

（Ⅱ）证明：已知函数，都是奇函数．

所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．

而．

可知，函数的图像按向量平移，即得到函数的图像，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形．

（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点．

由知，过此点的切线方程为

．

令得，切线与直线交点为．

令得，切线与直线交点为．

直线与直线的交点为．

从而所围三角形的面积为．

所以，所围三角形的面积为定值．