题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ 的图象在点（-2，f（-2））处的切线方程为16x+y+20=0．
（1）求实数a、b的值；
（2）求函数f（x）在区间[-1，2]上的最大值；
（3）曲线y=f（x）上存在两点M、N，使得△MON是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边MN的中点在y轴上，求实数c的取值范围．

解：（1）当x＜1时，f′（x）=-3x²+2ax+b．
因为函数图象在点（-2，f（-2））处的切线方程为16x+y+20=0，所以切点坐标为（-2，12），
所以 $\text{[math]}$ ，所以a=1，b=0；
（2）由（1）得，当x＜1时，f（x）=-x³+x²，
令f′（x）=-3x²+2x=0可得x=0或x= $\text{[math]}$ ，故函数在（-1，0）和（ $\text{[math]}$ ，1）上单调递减，在（0， $\text{[math]}$ ）上单调递增
∴x＜1时，f（x）的最大值为max{f（-1），f（ $\text{[math]}$ ）}=f（-1）=2；
当1≤x≤2时，f（x）=clnx
当c≤0时，clnx≤0恒成立，f（x）≤0＜2，此时f（x）在[-1，2]上的最大值为f（-1）=2；
当c＞0时，f（x）在[-1，2]上单调递增，且f（2）=cln2
令cln2=2，则c= $\text{[math]}$ ，∴当c＞ $\text{[math]}$ 时，f（x）在[-1，2]上的最大值为f（2）=cln2；
当0＜c≤ $\text{[math]}$ 时，f（x）在[-1，2]上的最大值为f（-1）=2
综上，当c≤ $\text{[math]}$ 时，f（x）在[-1，2]上的最大值为2，当c＞ $\text{[math]}$ 时，f（x）在[-1，2]上的最大值为cln2；
（3）f（x）= $\text{[math]}$ ，
根据条件M，N的横坐标互为相反数，不妨设M（-t，t³+t²），N（t，f（t）），（t＞0）．
若t＜1，则f（t）=-t³+t²，
由∠MON是直角得， $\text{[math]}$ ，即-t²+（t³+t²）（-t³+t²）=0，
即t⁴-t²+1=0．此时无解；
若t≥1，则f（t）=clnt．
由于MN的中点在y轴上，且∠MON是直角，所以N点不可能在x轴上，即t≠1．
同理由 $\text{[math]}$ ，即-t²+（t³+t²）•clnt=0，∴c= $\text{[math]}$ ．
由于函数g（t）= $\text{[math]}$ （t＞1）的值域是（0，+∞），实数c的取值范围是（0，+∞）即为所求．
分析：（1）利用函数图象在点（-2，f（-2））处的切线方程为16x+y+20=0，确定切点坐标及切线的向量，建立方程组，即可求实数a、b的值；
（2）根据分段函数，分类讨论，利用函数的单调性，即可求f（x）在[-1，2]上的最大值；
（3）根据分段函数，分类讨论，利用 $\text{[math]}$ ，即可求实数c的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，综合性强．